Сред нашия народ отдавна са добили популярност един особен вид задачи, които са били разказвани по разни поводи. Това са задачи с различна степен на трудност, но облечени в ярка занимателна и лесно възприемаща се форма. Те се били разказвани наред с приказките, пословиците и гатанките. Основната цел на тези задачи е била не толкова забавлението, колкото проверката на способността на хората за остроумни разсъждения, съобразителност и досетливост. Задаването и решаването на такива задачи е доставяло не по-малко удоволствие от това, получавано при изпълнение на народни песни и танци, при разказване на приказки и други. Както при другите видове народно творчество за този вид задачи са характерни анонимност на авторите и устна форма на разпространение. Всичко това дава основание да говорим за задачи от народното творчество или за задачи от математическия фолклор.

В продължение на предишните 2 статии и в тази с удоволствие ви представяме още 10 задачи от народния фолклор. Техните отговори и решения можете да намерите най-отдолу в статията.

Задачи

1. Баща оставил в наследство на тримата си синове имущество, сред което имало и 21 бъчви, от които 7 били пълни, 7 полупълни и 7 празни. Последната му дума била: „Всеки от синовете да получи по равен брой пълни, полупълни и празни бъчви и по равна част от общото съдържание на бъчвите“. Как синовете могат да изпълнят завещанието на баща си?
2. Баща имал 8 пълни, 8 полупълни и 8 празни бъчви. Може ли да ги раздели между тримата си синове и то така, че те да получат по равен брой пълни, полупълни и празни бъчви?
3. Баща имал по n на брой пълни, полупълни и празни бъчви. Може ли да ги раздели между тримата си синове и то така, че те да получат по равен брой пълни, полупълни и празни бъчви?
4. Баща имал 4 пълни, 10 полупълни и 7 празни бъчви. Може ли да ги раздели между тримата си синове и то така, че те да получат по равен брой пълни, полупълни и празни бъчви?
5. Баща имал 5 пълни, 6 полупълни и 9 празни бъчви. Може ли да ги раздели между четиримата си синове и то така, че те да получат по равен брой пълни, полупълни и празни бъчви?
6. Собственик на фабрика за монети имал 100 работници. На всеки от тях сутрин раздавал по 1 кг злато за направа на 100 монети по 10 г. След няколко дни установил, че някой от работниците му произвежда монети по 9 г, а икономисаното злато – присвоява. Той се замислил и намерил такъв начин, чрез който само с 1 теглене да открие фалшификатора. Кой е този начин?
   
7. В 10 торбички има еднакви монети, но в едната те са фалшиви – всяка е с 1 г по-лека от истинските. Как с едно претегляне може да се открие торбата с фалшивите монети?
8. Седем работници правят златни монети. Един от тях изработвал монетите с по 1 г по-леки. Как може само с 1 претегляне да се открие кой работник е правил по-леки монети?
9. Султан имал 10 везири, които всяка година му плащали по 1 чувал жълтици. Той забелязал, че някой от везирите се изхитря и му дава с 1 г по-леки жълтици, а другите везири честно си плащат данъка. Как с 1 измерване на получения от везирите данък да се познае кой е нечестният?
10. В 4 кутийки има по 4 сачми. Сачмите от трите кутийки тежат по 1 г, а в четвъртата — по 2 г. Как с 1 претегляне ще определите в коя кутийка са по-тежките сачми? (Кутийките са отворени и сачмите могат да се изваждат.)

За още интересни статии и задачи от света на математиката, разгледайте нашия блог. Ако искате да положите и надградите знанията си по математика и да развиете логическото си мислене, за да можете да решавате и други подобни задачи от необятния свят на математиката, разгледайте нашия курс  "Математика за програмисти - част 1". Той е фокусиран върху най-важните теми в математиката и приложението им в програмирането.  В ресурсите има над 13 часа видео лекции и над 220 страници PDF книжка.

Отговори и решения

1. Необходимо е броят на пълните бъчви, броят на полупълните и броят на празните бъчви да се дели на три.
   1. I начин: От четири полупълни бъчви могат да се получат две пълни и две празни бъчви. Тогава ще има 9 пълни, 3 полупълни и 9 празни бъчви. Всеки един от синовете ще получи по 3 пълни, 1 полупълна и 3 празни бъчви.
   2. II начин: Възможно е и друго разделяне на бъчвите. От 1 пълна и 1 празна бъчва се получават 2 полупълни бъчви. Тогава ще има 6 пълни, 9 полупълни и 6 празни бъчви. Всеки един от синовете ще получи по 2 пълни, 3 полупълни и 2 празни бъчви.
   3. III начин: Може също така всеки от синовете да получи по 1 пълна бъчва, 5 полупълни бъчви и 1 празна бъчва.
   4. IV начин: Може от седемте пълни бъчви да се направят 14 полупълни бъчви (като се напълнят наполовина седемте празни) и така с 21 полупълни бъчви може да се дадат на всеки от братята по 7 полупълни бъчви и по 0 пълни и празни бъчви.
2. Да. Например всеки може да получи по 2 пълни, 4 полупълни и 2 празни бъчви.
3. Да. Нека разгледаме следните 3 случая:
   1. Ако n се дели на 3, то всеки един от синовете ще получи по n пълни, полупълни и празни бъчви.
   2. Нека n=3p+1 (т.е. n се дели на p с остатък 1). В този случай от 1 пълна и 1 празна бъчва ще получим 2 полупълни бъчви. Ето защо бащата ще разполага съответно с n-1 пълни, n+2 полупълни и n-1 празни бъчви. Но n-1=3p и n+2=3(p+1). Следователно всеки от братята може да получи по p на брой пълни бъчви, по p+1 на брой полупълни и по p на брой празни бъчви.
   3. Нека n=3p+2 (т.е. n се дели на p с остатък 2). В този случай от 2 пълни и 2 празни бъчви ще се получат 4 полупълни бъчви. Бащата ще разполага с n-2 пълни, n+4 полупълни и n-2 празни бъчви. Лесно се вижда, че n-2=3p и n+4=3(p+2). Следователно всеки от братята може да получи по p пълни, p+2 полупълни и p празни бъчви.
4. Да. Например всеки може да получи по 1 пълна, 4 полупълни и 2 празни бъчви.
5. Да. Например всеки може да получи по 1 пълна, 2 полупълни и 2 празни бъчви. Хубаво обобщение за по-напредналите е да се потърсят и други обобщения на задачите с бъчвите. Например, когато бащата разполага с n на брой пълни, m полупълни и p празни бъчви, а броят на синовете е 4, 5 и т.н.
6. Номерирал е работниците с естествените числа от 1 до 100 и от всеки е взел по толкова монети, колкото е номерът му. Тези монети трябвало да тежат (1+2+3+…+99+100).10=5050.10=50500 грама. Разликата между числото 50 500 и действителното тегло на взетите монети е точно равно на номера на фалшификатора.
7. Логиката е подобна като на задача 6. Номерират се торбичките от 1 до 10 и се взимат по толкова монети, колкото е номерът на торбичката. Слагат се на везната и според измереното тегло се определя коя точно торбичка има монети с 9 грама.
8. Логиката е подобна като на задача 6.
9. Логиката е подобна като на задача 6.
10. Ще номерираме кутийките с числата от 1 до 4 и във всяка кутийка ще оставим толкова сачми, колкото показва номерът й. Ако всички сачми са по 1 г, общо теглото на останалите в кутийките сачми (без кутийките) трябва да бъде 10 г, тъй като 1+2+3+4=10. Определяме с помощта на везните теглото на тези 10 сачми. Ако то се окаже 14 г, значи в четвъртата кутийка сачмите са по 2 г. Ако теглото е 13 г, това означава, че в третата кутийка сачмите са по 2 г. Ако теглото е 12 г, това означава, че във втората кутийка сачмите са по 2 г. Ако теглото е 11 г, това означава, че в първата кутийка сачмите са по 2 г.