В областта на изчислителната техника и науката за данните показателите за разстояние са основни инструменти, използвани за измерване на сходството или различието между точките с данни. Тези метрики помагат в различни приложения, включително машинно обучение, извличане на данни и обработка на изображения. В тази статия са разгледани някои често срещани метрики за разстояние - Манхатъново, Евклидово и други - техните определения и приложенията им в света на компютрите.

1. Евклидово разстояние

Определение:

Евклидовото разстояние, известно още като норма L2, е разстоянието по права линия между две точки в Евклидовото пространство. За точките P = (p1, p2, ..., pn) и Q = (q1, q2, ..., qn), Евклидовото разстояние се определя от:

d(P, Q) = √((p1 - q1)2 + (p2 - q2)2 + ... + (pn - qn)2)

Приложения:

  • Алгоритми за клъстеризация: Използва се в к-средства за клъстериране, за да се определи сходството между точките с данни.
  • Обработка на изображения: Помага за измерване на сходството между изображения или участъци от изображения.
  • Системи за препоръчване: Използват се за изчисляване на сходството между предпочитанията на потребителите.

2. Манхатаново разстояние

Определение:

Манхатановото разстояние, известно още като норма L1 или разстояние на такситата, е сумата от абсолютните разлики на техните координати. За точките P = (p1, p2, ..., pn) и Q = (q1, q2, ..., qn), Манхатановото разстояние е:

d(P, Q) = |p1 - q1| + |p2 - q2| + ... + |pn - qn|

Приложения:

  • Маршрутизиране: Използва се в градското планиране за карти, базирани на мрежа, където движението е ограничено до хоризонтални и вертикални пътища.
  • Линейно програмиране: Помага при оптимизационни задачи, при които целта е да се минимизира сумата на абсолютните отклонения.
  • Машинно обучение: Използва се в някои модели за машинно обучение като LASSO регресия.

3. Разстояние на Чебишев

Определение:

Разстоянието на Чебишев, известно още като норма L∞, измерва най-голямата разлика между координатите на двойка точки. За точките P = (p1, p2, ..., pn) и Q = (q1, q2, ..., qn), разстоянието на Чебишев е:

d(P, Q) = max(|p1 - q1|, |p2 - q2|, ..., |pn - qn|)

Приложения:

  • Шахмат: Измерва разстоянието, на което един цар би се придвижил по шахматната дъска.
  • Роботика: Използва се при сценарии, при които движението може да се извършва във всяка посока, но цената се определя от най-значимото измерение.

4. Разстояние на Минковски

Определение:

Разстоянието на Минковски е обобщение на Евклидовото и Манхатънското разстояние. За точки P = (p1, p2, ..., pn) and Q = (q1, q2, ..., qn), и параметър p:

d(P, Q) = (∑|pi - qi|p)1/p

За p = 1 то става разстояние на Манхатън.
За p = 2 то се превръща в Евклидово разстояние.

Приложения:

  • Гъвкаво измерване на разстоянието: Позволява настройка на параметъра p, за да отговаря на различни приложения.
  • Машинно обучение: Често се използва в алгоритми за клъстериране и класификация, при които могат да се предпочитат различни норми.

5. Косинусово сходство

Определение:

Косинусовото сходство измерва косинуса на ъгъла между два вектора в пространството на вътрешния продукт. За векторите A и B:

cosine similarity = (A ⋅ B) / (||A|| ||B||) = (∑AiBi) / (√(∑Ai2) √(∑Bi2))

Приложения:

  • Извличане на информация от текст: Обикновено се използва при обработката на естествен език за измерване на сходството на документите.
  • Системи за препоръчване: Помагат за намиране на сходство между потребителски профили или описания на артикули.
  • Извличане на информация: Използва се в търсачките за класиране на релевантността на документите спрямо заявка.

6. Разстояние на Хаминг

Определение:

Разстоянието на Хаминг измерва броя на позициите, в които съответните символи се различават между два символни реда с еднаква дължина. За низове S и T:

d(S, T) = ∑δ(si, ti)

където δ(si, ti) е 1, ако si ≠ ti, и 0 в другите случаи.

Приложения:

  • Откриване и коригиране на грешки: Използва се в теорията на кодирането за откриване на грешки в двоични данни.
  • Секвениране на ДНК: Помага за сравняване на генетични последователности.
  • Криптография: Измерва разликата между криптографските ключове.

Заключение

Разбирането и изборът на подходяща метрика на разстоянието е от решаващо значение за успеха на различни изчислителни задачи. Независимо дали клъстеризирате точки от данни, анализирате текст или оптимизирате алгоритми, изборът на метрика на разстоянието може да окаже значително влияние върху ефективността и точността на вашите модели. Като използвате силните страни на всяка метрика, можете да повишите ефективността на вашите изчислителни решения.

Ако жеалете да научите повече за математиката, можете да го направите в нашия курс - "Математика за програмисти - част 1".