Математиката е точна наука, в която всеки термин, събитие и зависимост имат своето строго, понятно и добре структурирано обяснение. В лексикален аспект думата парадокс се свързва със явление, което не съответства на нашите представи, на реалността такава, каквато е. Как е възможно тогава в математическата наука да съществуват парадокси? 

Всъщност, налично е понятие като математически парадокс. То обуславя различното мнение или схващане, а също така и твърдение, което забележете – противоречи на здравия смисъл. Нещо повече – в математическата наука има немалко теории, обвързани с идеята за парадокса, но те не са така да се каже висящи. Между другото, в тях има логическа последователност, а дори и същинско обяснение. 

При всички случаи парадоксът в математиката дава един друг поглед върху уж най-точната наука в света. Той не дава отговор, а поставя отворен въпрос. Въпросът е доколко са стабилни приетите за даденост и възприети единодушно от научната общност математически теории. И дали всичко, което знаем в тази научна сфера, наистина го знаем и дали в него няма скрит замисъл или поне прозираща теория за инакомислие. 

За да се потопите с малко повече яснота в парадоксалната страна на математиката, най-лесно ще е да ви разкажем за две интересни теории. Разбира се, те са свързани с парадокса в математиката. Интересно е, че и двете теории са създадени в сравнително един и същи период в историята на математическата наука. Но повече за тях ще разберете в следващите редове. 

Парадоксът на бръснаря

Годната е 1901-ва и и британският математик и философ Бъртнард Ръсел открива поредния парадокс в математиката. Всичко започва с едно противоречие, върху което той умува дълги месеци, а в последствие превръща в своята Теория за парадокса на бръснаря. Това, което не дава спокойствие на Ръсел дни наред, е един обикновен град с наличието на един-единствен бръснар от мъжки пол. В разсъжденията на математика всеки ден въпросният бръснар обслужвал единствено и само мъжете, които не се бръснели сами и у дома. Въпросът, който измъчвал математика е дали тогава бръснарят се бръсне сам. Ако се следва логиката би трябвало той да се бръсне сам единствено ако не се бръсне сам. Задачата на Ръсел да открие отговора на този въпрос придобива и чисто математически измерения. Неговият парадокс на практика синтезира множество от всички онези множества, които не представляват членове на самите си. С други думи R множества не могат да са членове на самите себе си така както например, множеството от кубове всъщност не е куб. Ръсел дава пример и за Т множества, несъдържащи себе си като структурни единици. Те са множества от всички множества на множества от всички – с изключение на кубовете – елементи. Така математикът стига до следния извод:

„Всяко множество може да бъде или от R, или от T тип, но няма такова множество, което да представлява и двата типа.“

От друга страна, Ръсел установява и, че по някаква причина съществува и множество S, което едновременно не е член на себе си, нито не е. В тези лутания единственото нещо, което остава на математика, за да излезе от парадокса, е да направи корекции в Теорията на множествата и то по начин, който би елиминирал подобен тип противоречия. Между другото, разсъжденията на Ръсел става обект на внимание и от друг теоретик – Хелън Джойс. Разглеждайте дилемите на своя колега Ръсел, Джойс започва да се съмнява в илюзорната и донякъде привидна стабилност на математиката. Според него дори изобщо не е практично да се вярва на което и да е доказателство в тази наука. 

Но да се върнем на Бъртнард Ръсел и неговото разрешение на въпроса за Парадокса на бръснаря през призмата на наложителна модификация на Теорията за множествата. Едно от предложенията на учения да опровергае това противоречие е на пръв поглед налудничаво. Чисто и просто той заявява, че подобен бръснар не може да съществува. Ако се замислим обаче, в това предложение все пак има известна логика. Нещо повече, разсъжденията на Ръсел и неговата Теория за множествата не просто бива подкрепена от редица учени, но и използвана и до ден днешен. Така например, сънародникът на Ръсел, математикът Алън Тюринг я въвлича в разрешаването на проблема за спирането. Тюринг използва успешно Теорията за множествата, за да проследи дали една дадена компютърна програма може да изпълни конкретен брой стъпки. 

Парадоксът за рождените дни

Излизаме от града, в който има само един бръснар,за да се озовем в една обикновена стая. В нея определен брой хора влизат един по един. Въпросът е колко души трябва да влезнат в тази стая, така че възможността двама от тях да са родени в един и същи ден да е равна на 50%. С това питане се озоваваме и в така наречения парадокс на рождените дни. За първи път за него започва да се говори в края на 30-те години на миналия век, но истината е, че тази логическа задача продължава да бъде актуална и до ден днешен. Много често дори тя е поставяна и в съвременните класни стаи. 

Нейният основоположник е австрийският математик Рихард Фон Мизес. Той си блъска главата върху задачата най-вече защото осъзнава, че разрешаването й ще създаде поле за изява на множество допълнителни противоречия на приетата за даденост интуиция на обикновените хора. С други думи, Мизес уточнява, че развръзката на Парадокса за рождените дни може да представлява набор от различни варианти, които в своята цялост биха представлявали изключително полезен модел за анализирането на редица съвпадения във всекидневието. Последните пък се свързват с онези явления и събития в човешкия живот, които години наред хората са си обяснявали с религиозни похвати, с връзката с Господ, Сатаната, езическите божества. Според Мартин Гарднър подобни ненаучно обяснени събития и явления съществуват главно защото те нарушават логиката и закона на вероятността. 

По отношение на 50%-вата вероятност двама души от едно множество от хора в стая да имат същата рождена дата, австриецът Рихард Фон Мизес казва следното:
„Приемаме дадеността, че една календарна година има 365 дни. От тук следва, че е възможно на 50% в стаята да има двама души със същата рождена дата, когато тя бъде обитавана от 23 човека.“ 

От тук следва, че ако в тази стая се намират минимум (или повече) от 23 души, възможността в нея двама да са родени в един и същи ден е повече от 50%. Да предположим, че хората са 57 (или повече). Тогава и възможността двама то тях да празнуват рожден ден в един и същи ден е по-голяма от 99%. Ако се опрем на Принципа на Дирихле обаче при стая пълна с повече от 366 души въпросната вероятност стига 100-те процента. Това е така, защото се смята, че всичките възможни 365 рождени дати да разполагат с една и съща вероятност, като разбира се, игнорираме спорната дата 29 февруари. 

Объркващо или не, в действителност в стаята трябва да има само 23 души, за да е налична 50% възможност двама от тях да празнуват в един и същи ден рожден ден. Звучи ви твърде малко като число, нали? Обяснението е, че сред тези 23 човека са вероятни цели 253 различни комбинации. И забележете, абсолютно всяка от тях има реалния потенциал да ни донесе търсеното съвпадение. 

За още интересни статии от света на математиката, не се колебайте да се поразтършувате из нашия блог! Очакват ви още и още по-интересни материали за числата, изчисленията и тяхното място в реалния живот. А ако искате да положите и надградите знанията си по математика, разгледайте курса  "Математика за програмисти - част 1". Той е фокусиран над най-важните теми в математиката и програмирането.  Към ресурсите влизат над 13 часа видео лекции и над 220 страници PDF наръчник.