Числата винаги са били обвързани не само с точната наука, но и с мистиката. Макар те да са основните елементи на математиката, същността, смисълът и предназначението им на практика се проявяват във всяка научна сфера, а и област от живота изобщо. Още от древни времена разбирането за числата се е смятало за най-важното и ключово математическо умение. Според първите последователи на точните науки не можем да говорим за точно пресмятане, преди да разберем какво точно означават самите числа. Природата им в днешни дни е по-скоро ясна и осъзната. И това е така най-вече защото вече сме способни да разграничаваме отделните видове числа. А кои са те, ще поговорим нашироко в днешния ни материал.

Естествени числа

Ако трябва да следваме хода на историята, е важно да започнем именно с този вид числа. Множеството на естествените числа не просто е служило за база, върху която да стъпят последователите на математическата наука, но и самите те придобиват значение като група числа преди всички останали. Обикновено, това същото множество представяме по следния начин N= {1, 2 ,3 ,4...}. Важно е да споменем, че това множество търпи специфично разширение с 0. В този случай естествените числа могат да се обозначат и по този начин: N0. Има няколко важни изведени от хилядолетия норми и правила, свързани с този вид числа. Така например, при N действията на събиране (+) и умножаване (*) са дефинирани чрез определени свойства за a,b,c,∈ N. Ето за кои свойства говорим:

1. a+b ∈ N, a*b ∈ N, като N множеството е затворено относно събиране и умножение
2. a+b = b+a,  b = b*a – комутативност
3. (a+b)+c = a+(b+c), (a*b)*c = a*(b*c) – асоциативност
4. а*(b+c) = a*b + a*c – дистрибутивност
5. а*1=а има неутрален елемент относно операцията умножение.

Тъй като N има неутрален елемент спрямо умножението, но не и спрямо събиране, множеството се разширява с 0, а самата тя е неутрален елемент спрямо събиране.

Цели числа

Целите числа обозначаваме със Z и това са всички естествени числа, техните противоположности с отрицателен знак и нулата. Ето и пример: -2, -1, 0, 1, 2….Характерно за тази група числа е безкрайността, тоест при тях липса такова число с най-голяма или с най-ниска стойност. Когато се решава уравнението а + x = b, където а и b са дадени естествени числа, a пък x e неизвестно естествено число, е необходимо да се въведе нова аритметическа операция, а именно изваждането (-).  При тези числа също важат някои основни правила, като:

1. Едно цяло число е положително, ако е по-голямо от нулата и отрицателно, ако е по-малко от нулата.
2. Приема се, че нулата не е нито положително, нито отрицателно число.

Дробни числа

Те се делят на обикновени и десетични добри. Обикновените дробни числа представлява частното на две цели числа, които се делят едно на друго. Пример е а върху b, където b не може да бъде 0. Десетичните числа се записват с различен от дробните числа знак, тоест със запетая. Съществуват крайни десетични добри и безкрайни. При крайните десетични дроби в случай на делене числителят и знаманателят се получава едно крайно десетично число. При безкрайните не се получава крайно число, тъй като то е в период.

Рационални числа

Най-общо казано това са всички положителни, отрицателни числа и нулата. Тук са включени и целите, и дробните числа, които вече проследихме по-горе. Тази група числа се отбелязва с буквата Q. характерно за рационалните числа е, че те изразяват едно отношение между две числа, например а и b. Във връзка с рационалните числа са приети следните принципи:

1. Множеството Q е представлява едно изброимо множество. Това означава, че на абсолютно всеки елемент на Q е възможно да се посочи едно друго, естествено число. От друга страна, тази зависимостта, според която множеството на рационалните числа Q с множеството на естествените числа N е с еднаква сила, е доказана за първи път Георг Кантор (1845 – 1918). Той използва своя собствен метод, наречен в науката като диагонален метод.
2. Между всеки две които и да е рационални числа p и q (p < q) абсолютно винаги ще съществуват безбройно много други рационални числа – например числата s = p + (q – p) / n, където n = 2, 3,...Това означава, че в случай рационалните числа се разглеждат като части от реалната числова права, те имат хаотично и повсеместно разположение между реалните числа. Този принцип се доказва с факта, че във всяка околност на реално число има безкрайно много рационални числа.
3. Множеството на рационалните числа Q е поле. То се образува посредством влагането на област на цялост в поле от частни.

Ирационални числа

Ирационалните числа не са несъществуващи или лишени от логика числа. Те са по-скоро противоположност на рационалните числа. Наричат се ирационални поради факта, че при тях няма възможност за изписване под формата на съотношение, тоест като обикновена дроб. Така например, 1.5 =3/2 , 0.6666...7 = 2/3 , 7 = 7/1 са рационални числа, а π=3.14159... е изцяло ирационално число. Освен добре познатото в математиката число π, познаваме и други популярни представители на ирационалните числа. Такива са Числото e ( число на Ойлер, Неперово число), чиито първи цифрите записват както следва: 2,7182818284590452353602874713527…, а също така и Златното сечение, чието начало изглежда по този начин: 1,61803398874989484820...

Имагинерни числа

Те са още по-особен вид числа. Имагинерните числа са онези числа, чийто квадрат е с отрицателен знак. За тях говори легендарния гений в математическата наука Готфрид Лайбниц. Според него ирационалните числа подобно на вълшебния полет на Божия дух, представляват микс от съществуващото и несъществуващото. Както знаем, квадратът на всяко реално число е положителен. Това кара дълго време математиците да смятат, че е невъзможно отрицателно число да има корен квадратен. В последствие обаче теорията е опровергана от Бомбели, въвел числото (-1). Друг интересен факт за имагинерните числа е, че имат пряка връзка с някои програмни езици. Учените често обичат да дават за пример C++ programming language. Освен това, тези числа имат един специфичен вид, наречен чисти имагинерни числа. За комплексното число z се казва, че е чисто имагинерно число, ако няма реална част, т.е. R[z]=0. Терминът често се използва за предпочитане пред по-простия „имагинерен“ в ситуации, когато z може като цяло да приеме сложни стойности с ненулеви реални части, но в конкретни изчисления реалната част е идентична с нулата.

За още интересни статии от света на математиката, не се колебайте да се поразтършувате из нашия блог! Очакват ви още и още по-интересни материали за числата, изчисленията и тяхното място в реалния живот. А ако искате да положите и надградите знанията си по математика, разгледайте курса  "Математика за програмисти - част 1". Той е фокусиран над най-важните теми в математиката и програмирането.  Към ресурсите влизат над 13 часа видео лекции и над 220 страници PDF наръчник.